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在學校,我們都熟悉某些類型的數:平方數(1, 4, 9, 16, 25, ...)、立方數(1, 8, 27, 64, 125, ...)、素數(只有兩個因數的數:1和它自己)、三角形數(1, 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, ...)。然而,數種類型包羅萬有,以上舉例,只屬一隅。有一些數特性顯著,個性鮮明,並且被賦予饒富趣味的名字。它們在我們的日常生活中或許並不重要,但它們是美麗的,因此值得一看。


1. 斐波那契數(Fibonacci Numbers)

由比薩的意大利數學家萊昂納多(又稱斐波那契)引入,以非常簡單的數列方式建構。從兩個1開始相加以得到下一個數字:1 + 1 = 2,然後再將這個2添加到它前面的1中得到︰1 + 2 = 3,依此類推。這就完成了斐波那契數的清單:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...。

這個數列的迷人之處,在於它無處不在。如果你計算一朵花的花瓣數量,甚至是鳳梨上的螺旋數量,你通常會發現總數是一個斐波那契數。據統計,三片葉子的三葉草比較常見,而3是斐波那契數;相反,四葉草出現的機率可謂少之又少。由此可見,斐波那契數實在與生活息息相關。

更值得注意的是,如果你將數列中的一個數除以排列在前的數,例如︰8 ÷ 5 = 1.6,89 ÷ 55 = 1.618...,你會發現你愈深入數列,答案就愈接近1.618033...,這個數被稱為黃金比例。以1:1.618的比例建造或繪製的東西,無論是一幅畫、一棟建築,甚至是一張人臉,看起來勻稱協調,人們甚至稱譽黃金比例為「神的比例」、「美的規範」。


2. 完美數 (Perfect Numbers)

完美數是一個等於其因數之和(不包括自身)的正整數。以4為例,除了自身的4外,其因數包括1和2,如果我們將它們加在一起,我們得到1 + 2 = 3 ≠ 4,因此4稱不上是完美數。我們再看看6,其因數除了自身的6,還有1、2和3。這些因數的總和是1 + 2 + 3 = 6,因此6是完美數。事實上,最小的完美數是6,下一個已是28:除了自身的28,其因數為1、2、4、7和14,而1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28。

完美數是非常罕見的,接着是496和8128,第五個是33550336(超過3350萬),數值龐大!數學家們使用超級計算機發現了一些驚人的大完美數,迄今為止最大的有近5000萬位的完美數。

到目前為止,找到的完美數都是偶數(能被2除盡的整數)。有趣的是,數學家們至今仍未解開謎團,到底是否有無限個完美數,亦不知道是否存在任何奇數(不是偶數)的完美數。


3. 吸血鬼數(Vampire Numbers)

幾乎可以肯定的是,你在學校沒有接觸這種數類型!一個數的數位被取出後,將這些數位重新排列成新數字,相乘後可得到原來的數。例如1260中的1、2、6和0,這四個數可以重新排列成兩個兩位數:21和60,而21 × 60 = 1260,因此1260是一個吸血鬼數,而21和60被稱為它的「尖牙」。下一個吸血鬼數是1395 = 15 × 93,而有些更大的吸血鬼數,甚至可以有多對尖牙:125460 = 204 × 615 = 246 × 510。

此外,我們亦有其他「變種」的吸血鬼數,例如:

「偽吸血鬼數」(Pseudovampire Numbers):

尖牙大小不同,例如︰

1206 = 6 × 201

「吸血鬼素數」(Prime Vampire Numbers):

一個吸血鬼數,其尖牙是其質因數,例如︰

117067 = 167 × 701

「雙吸血鬼數」(Double Vampire Numbers):

一個吸血鬼數,其尖牙也是吸血鬼數,例如︰

1047527295416280

= 25198740 × 41570622

= (2940 × 8571) × (5601 × 7422)


4. 自戀數(Narcissistic Numbers)

自戀數乃取名自希臘神話,一個愛上了自己倒影的英俊獵人Narcissus。根據定義,若取一個有n個數位的自戀數的每個數位,分別將它們提高到n次方,然後將它們加在一起,會得回原來的數。例如三位數153,它有三個數位1、3和5,若把它們每個數位的三次方加在一起,便會得回153:13 + 53 + 33 = 153。一個更大的自戀數是四位數9474,其四個數位的四次方加在一起,便會得回9474:94 + 44 + 74 + 44 = 9474。現知存在的自戀數共88個,從最小的0,到最大的115132219018763992565 095597973971522401,足足有39個數位!

 就像吸血鬼的數字一樣,自戀的數位也有一些有趣的「變種」:

「杜德尼數」(Dudeney Numbers):

在提高到三次方之前先將數位相加,例如︰5832 = (5 + 8 + 3 + 2)3。

「孟喬森數」(Munchausen Numbers):

將每個數位提高到自身的次方,然後相加可得回原來的數,例如︰3435 = 33 + 44 + 33 + 55。(但目前已知的另一個孟喬森數只有1哩。)

「升序冪數」(Ascending Power Numbers):

將每個數位的次方每次增加1,然後相加,例如 2646798 = 21 + 62 + 43 + 64 + 75 + 96 + 87。(注意:此處每個數位的次方為1、2、3、4、5、6和7。)

數學中有「數論」(Number Theory)這個範疇,主要研究整數的性質,被譽為「最純」的數學領域。箇中學問變化萬千,趣味盎然。若你對以上這篇文章感興趣,不妨繼續鑽研,發掘數學的魅力!


小思考,大智慧

1. 你最喜歡這里討論的哪個數類型呢?斐波那契數、完美數、吸血鬼數,還是自戀數?

2. 你喜歡「吸血鬼數」、「自戀數」這些名稱嗎?試替這些數類型另擬一些更加貼切及動聽的名字。

3. 數學家認為超級電腦的運算結果,不可取代數學的嚴謹證明。你的意見又如何?

4. 請你試試定義一些其他新的、有趣的數類型,並且以一些貼切的名稱命名。


文:九龍真光中學數學科科主任嚴文迅博士

本欄逢周四刊登,由教育評議會邀請資深中小學老師、校長及大學講師撰稿,旨在為學生提供多元化的STEAM學習材料,引發學生探求知識的興趣,將學習融入生活,培養學生的世界觀、敏銳的觸覺、積極學習的態度。


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